Persamaan Lingkaran - Kelas 11 SMA
Belajar persamaan lingkaran materi matematika kelas 11 SMA dengan contoh soal dan pembahasan.
Artikel awal ini membahas persamaan lingkaran dengan pusat titik (0, 0), titik (a, b) dan bentuk umum persamaan lingkaran, garis singgung pada lingkaran dibahas pada artikel tersendiri.
Soal No. 1
Berikut lukisan sebuah lingkaran pada sumbu x dan sumbu y.
Tentukan:
a) koordinat titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran
c) persamaan lingkaran
Pembahasan
a) koordinat titik pusat lingkaran
dari gambar terlihat bahwa koordinat pusat lingkaran adalah (0, 0)
b) jari-jari lingkaran
Jari-jari lingkaran r = 5
c) persamaan lingkaran
lingkaran dengan pusat titik (0, 0) dengan jari-jari r akan memiliki persamaan dengan bentuk :
x2 + y2 = r2
sehingga
x2 + y2 = 52
x2 + y2 = 25
Soal No. 2
Suatu lingkaran memiliki persamaan:
x2 + y2 = 144
Tentukan panjang diameter lingkaran tersebut!
Pembahasan
Lingkaran pusat di (0, 0) di atas memiliki jari-jari:
r = √144
= 12 cm.
Diameter lingkaran:
D = 2 r
= 24 cm.
Soal No. 3
Diberikan sebuah lingkaran seperti gambar berikut!
Tentukan:
a) koordinat titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran
c) persamaan lingkaran
Pembahasan
a) koordinat titik pusat lingkaran
pusat lingkaran terletak pada x = 5 dengan y = 6 sehingga koordinatnya adalah (5, 6)
b) jari-jari lingkaran
sesuai gambar diatas, jari-jari lingkaran adalah 5 − 2 = 3
c) persamaan lingkaran
lingkaran dengan titik pusat di (a, b) dengan jari-jari r akan memiliki persamaan berikut:
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
dimana a = 5, dan b = 6
sehingga
(x − 5)2 + (y − 6)2 = 32
(x − 5)2 + (y − 6)2 = 9
Soal No. 4
Persamaan suatu lingkaran adalah x2 + y2 − 8x + 4y − 5 = 0
Tentukan:
a) titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran
Pembahasan
Suatu lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0
akan memiliki titik pusat (−1/2A, −1/2 B) dan jari-jari r = √[1/4 A2 + 1/4 B2 −C] .
Dari persamaan lingkaran diatas nilai :
A = −8, B = 4 dan C = − 5
a) titik pusat (−1/2[−8], −1/2 [4]) = (4, −2)
b) jari-jari lingkaran r = √[1/4 (−8)2 + 1/4 (4)2 −(−5)] = √25 = 5
Soal No. 5
Jari-jari dan pusat lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y2 + 4x − 6y − 12 = 0 adalah...
A. 5 dan (−2, 3)
B. 5 dan (2, −3)
C. 6 dan (−3, 2)
D. 6 dan (3, −2)
E. 7 dan (4, 3)
Pembahasan
x2 + y2 + 4x − 6y − 12 = 0
A = 4
B = −6
C = −12
Pusat:
Jari-jari:
Sehingga jari-jari dan pusatnya adalah 5 dan (−2, 3).
Soal No. 6
Lingkaran dengan persamaan 2x2 + 2y2 − 1/2 ax + 4y − 12 = 0 melalui titik (1, − 1). Diameter lingkaran tersebut adalah....
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
E. 8
Pembahasan
Masukkan titik (1, − 1) ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan nilai a terlebih dahulu:
Jadi persamaan lingkarannya sebenarnya adalah
Jari-jarinya:
Diameternya adalah 2 × 4 = 8
Soal No. 7
Diberikan persamaan lingkaran:
x2 + y2 −4x + 2y − 4 = 0.
Titik A memiliki koordinat (2, 1). Tentukan posisi titik tersebut, apakah di dalam lingkaran, di luar lingkaran atau pada lingkaran!
Pembahasan
Masukkan koordinat A ke persamaan lingkarannya:
Titik A (2, 1)
x = 2
y = 1
x2 + y2 −4x + 2y − 4
= (2)2 + (1)2 −4(2) + 2(1) − 4
= 4 + 1 − 8 + 2 − 4
= −5
Hasilnya lebih kecil dari 0, sehingga titik A berada di dalam lingkaran.
Aturan selengkapnya:
Soal No. 8
Diberikan persamaan lingkaran:
(x − 2)2 + (x + 1)2 = 9
Titik B memiliki koordinat (5, − 1).
Tentukan posisi titik B apakah berada di dalam, luar atau pada lingkaran!
Pembahasan
Untuk bentuk persamaan lingkaran bentuk (x − a)2 + (x − b)2 = r2, kedudukan titik terhadap lingkarannya sebagai berikut:
Masukkan koordinat B ke persamaan lingkarannya, lihat hasilnya terhadap angka 9, lebih besar, lebih kecil ataukah sama.
B (5, − 1)
x = 5
y = − 1
(x − 2)2 + (x + 1)2
= (5 − 2)2 + (−1 + 1)2
= 9
Hasilnya sama, jadi titik B berada pada lingkaran.
Soal No. 9
Diberikan persamaan lingkaran:
(x − 2)2 + (x + 1)2 = 9
Titik C memiliki koordinat (3, 4).
Tentukan jarak titik C dari pusat lingkaran!
Pembahasan
Persamaan lingkarannya,
(x − a)2 + (x − b)2 = r2
(x − 2)2 + (x + 1)2 = 9
Pusat lingkaran ini adalah,
P (a, b)
= (2, − 1)
Jarak titik C (3, 4) ke pusat P (2, − 1) ditentukan dengan rumus jarak antara dua titik:
Hasilnya
Terbalik angkanya hasilnya sama juga
Soal No. 10
Diberikan persamaan lingkaran sebagai berikut:
x2 + y2 −2x + 4y + 1 = 0
Jika pusat lingkaran adalah P(a, b) maka nilai dari 10a − 5b =....
A. −10
B. −5
C. 5
D. 10
E. 20
Pembahasan
x2 + y2 −2x + 4y + 1 = 0
Pusatnya adalah
P (−1/2[−2], −1/2 [4])
= (1, −2)
Jadi a = 1 dan b = − 2.
10a − 5b =....
10(1) − 5(−2) = 10 + 10 = 20
Soal No. 11
Lingkaran yang persamaannya x2 + y2 − Ax − 10y + 4 = 0 menyinggung sumbu x. Nilai A yang memenuhi adalah...
A. − 2 dan 2
B. − 4 dan 4
C. − 5 dan 5
D. − 6 dan 6
E. − 9 dan 9
Pembahasan
Cara Pertama:
Lingkarannya menyinggung sumbu x, sehingga jari-jari lingkarannya akan sama dengan nilai positif dari ordinat titik pusatnya atau
Sehingga jari-jari lingkaran x2 + y2 − Ax − 10y + 4 = 0 adalah r = 10/2 = 5.
Dari rumus jari-jari lingkaran yang telah dihilangkan tanda akarnya:
Cara kedua:
Lingkaran yang persamaannya x2 + y2 − Ax − 10y + 4 = 0 menyinggung sumbu x. Artinya saat menyinggung sumbu x nilai y = 0. Masukkan ke persamaan, y diisi nol,
Terbentuk persamaan kuadrat, syaratnya menyinggung nilai diskrimanan sama dengan nol (D = 0), ingat D = b2 − 4ac di materi persamaan kuadrat. Sehingga
Soal No. 12
Persamaan lingkaran dengan pusat P(3, 1) dan menyinggung garis 3x + 4y + 7 = 0 adalah.....
A. x2 + y2 − 6x − 2y + 6 = 0
B. x2 + y2 − 6x − 2y + 9 = 0
C. x2 + y2 − 6x − 2y − 6 = 0
D. x2 + y2 + 6x − 2y + 6 = 0
E. x2 + y2 + 6x + 2y − 6 = 0
(Persamaan Lingkaran - UAN 2006)
Pembahasan
Kuncinya adalah mengetahui berapa jari-jari lingkaran terlebih dahulu. Baik diketahui dulu rumus untuk menentukan jarak suatu titik ke suatu garis.
Dalam kasus ini jari-jari lingkarannya sama dengan jarak titik ke garis, karena garisnya menyinggung lingkaran.
Jarak titik P(3, 1) ke garis x + 4y + 7 = 0 adalah
Dengan demikian jari-jari lingkarannya r = d = 4.
Tinggal membuat persamaan lingkarannya, pusatnya di titik (3, 1) dengan jari-jari 4
Soal No. 13
Jari-jari lingkaran pada gambar di bawah ini adalah...
A √3
B. 3
C. √13
D. 3√3
E. √37
(Lingkaran - Ebtanas 1996)
Soal No. 14
Tentukan persamaan garis singgung untuk lingkaran x2 + y2 = 29 yang melalui titik (5, − 2).
Pembahasan
Titik (5, − 2) terletak pada lingkaran dan sekaligus menjadi titik singgungnya, karena 52 + (−2)2 = 25 + 4 = 29
Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = r2 jika diketahui titik singgungnya adalah:
x1x + y1y = r2
5x + (−2)y = 29
5x − 2y = 29
Soal No. 15
Tentukan persamaan garis singgung untuk lingkaran x2 + y2 = 13 yang melalui titik:
a) (3, −2)
b) (3, 2)
Pembahasan
Tipe soal masih seperti nomor 14. Titik (3, − 2) dan titik (3, 2) sama-sama berada pada lingkaran x2 + y2 = 13 sehingga persamaan garis singgungnya masing-masing adalah:
a) x1x + y1y = r2
3x − 2y = 13
b) x1x + y1y = r2
3x + 2y = 13
Artikel awal ini membahas persamaan lingkaran dengan pusat titik (0, 0), titik (a, b) dan bentuk umum persamaan lingkaran, garis singgung pada lingkaran dibahas pada artikel tersendiri.
Soal No. 1
Berikut lukisan sebuah lingkaran pada sumbu x dan sumbu y.
Tentukan:
a) koordinat titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran
c) persamaan lingkaran
Pembahasan
a) koordinat titik pusat lingkaran
dari gambar terlihat bahwa koordinat pusat lingkaran adalah (0, 0)
b) jari-jari lingkaran
Jari-jari lingkaran r = 5
c) persamaan lingkaran
lingkaran dengan pusat titik (0, 0) dengan jari-jari r akan memiliki persamaan dengan bentuk :
x2 + y2 = r2
sehingga
x2 + y2 = 52
x2 + y2 = 25
Soal No. 2
Suatu lingkaran memiliki persamaan:
x2 + y2 = 144
Tentukan panjang diameter lingkaran tersebut!
Pembahasan
Lingkaran pusat di (0, 0) di atas memiliki jari-jari:
r = √144
= 12 cm.
Diameter lingkaran:
D = 2 r
= 24 cm.
Soal No. 3
Diberikan sebuah lingkaran seperti gambar berikut!
Tentukan:
a) koordinat titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran
c) persamaan lingkaran
Pembahasan
a) koordinat titik pusat lingkaran
pusat lingkaran terletak pada x = 5 dengan y = 6 sehingga koordinatnya adalah (5, 6)
b) jari-jari lingkaran
sesuai gambar diatas, jari-jari lingkaran adalah 5 − 2 = 3
c) persamaan lingkaran
lingkaran dengan titik pusat di (a, b) dengan jari-jari r akan memiliki persamaan berikut:
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
dimana a = 5, dan b = 6
sehingga
(x − 5)2 + (y − 6)2 = 32
(x − 5)2 + (y − 6)2 = 9
Soal No. 4
Persamaan suatu lingkaran adalah x2 + y2 − 8x + 4y − 5 = 0
Tentukan:
a) titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran
Pembahasan
Suatu lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0
akan memiliki titik pusat (−1/2A, −1/2 B) dan jari-jari r = √[1/4 A2 + 1/4 B2 −C] .
Dari persamaan lingkaran diatas nilai :
A = −8, B = 4 dan C = − 5
a) titik pusat (−1/2[−8], −1/2 [4]) = (4, −2)
b) jari-jari lingkaran r = √[1/4 (−8)2 + 1/4 (4)2 −(−5)] = √25 = 5
Soal No. 5
Jari-jari dan pusat lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y2 + 4x − 6y − 12 = 0 adalah...
A. 5 dan (−2, 3)
B. 5 dan (2, −3)
C. 6 dan (−3, 2)
D. 6 dan (3, −2)
E. 7 dan (4, 3)
Pembahasan
x2 + y2 + 4x − 6y − 12 = 0
A = 4
B = −6
C = −12
Pusat:
Jari-jari:
Sehingga jari-jari dan pusatnya adalah 5 dan (−2, 3).
Soal No. 6
Lingkaran dengan persamaan 2x2 + 2y2 − 1/2 ax + 4y − 12 = 0 melalui titik (1, − 1). Diameter lingkaran tersebut adalah....
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
E. 8
Pembahasan
Masukkan titik (1, − 1) ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan nilai a terlebih dahulu:
Jadi persamaan lingkarannya sebenarnya adalah
Jari-jarinya:
Diameternya adalah 2 × 4 = 8
Soal No. 7
Diberikan persamaan lingkaran:
x2 + y2 −4x + 2y − 4 = 0.
Titik A memiliki koordinat (2, 1). Tentukan posisi titik tersebut, apakah di dalam lingkaran, di luar lingkaran atau pada lingkaran!
Pembahasan
Masukkan koordinat A ke persamaan lingkarannya:
Titik A (2, 1)
x = 2
y = 1
x2 + y2 −4x + 2y − 4
= (2)2 + (1)2 −4(2) + 2(1) − 4
= 4 + 1 − 8 + 2 − 4
= −5
Hasilnya lebih kecil dari 0, sehingga titik A berada di dalam lingkaran.
Aturan selengkapnya:
| Hasil < 0 , titik di dalam lingkaran Hasil > 0 , titik akan berada di luar lingkaran. Hasil = 0, maka titik berada pada lingkaran. |
Soal No. 8
Diberikan persamaan lingkaran:
(x − 2)2 + (x + 1)2 = 9
Titik B memiliki koordinat (5, − 1).
Tentukan posisi titik B apakah berada di dalam, luar atau pada lingkaran!
Pembahasan
Untuk bentuk persamaan lingkaran bentuk (x − a)2 + (x − b)2 = r2, kedudukan titik terhadap lingkarannya sebagai berikut:
| Di dalam lingkaran untuk (x − a)2 + (x − b)2 < r2 Di luar lingkaran untuk (x − a)2 + (x − b)2 > r2 Pada lingkaran untuk (x − a)2 + (x − b)2 = r2 |
Masukkan koordinat B ke persamaan lingkarannya, lihat hasilnya terhadap angka 9, lebih besar, lebih kecil ataukah sama.
B (5, − 1)
x = 5
y = − 1
(x − 2)2 + (x + 1)2
= (5 − 2)2 + (−1 + 1)2
= 9
Hasilnya sama, jadi titik B berada pada lingkaran.
Soal No. 9
Diberikan persamaan lingkaran:
(x − 2)2 + (x + 1)2 = 9
Titik C memiliki koordinat (3, 4).
Tentukan jarak titik C dari pusat lingkaran!
Pembahasan
Persamaan lingkarannya,
(x − a)2 + (x − b)2 = r2
(x − 2)2 + (x + 1)2 = 9
Pusat lingkaran ini adalah,
P (a, b)
= (2, − 1)
Jarak titik C (3, 4) ke pusat P (2, − 1) ditentukan dengan rumus jarak antara dua titik:
Hasilnya
Terbalik angkanya hasilnya sama juga
Soal No. 10
Diberikan persamaan lingkaran sebagai berikut:
x2 + y2 −2x + 4y + 1 = 0
Jika pusat lingkaran adalah P(a, b) maka nilai dari 10a − 5b =....
A. −10
B. −5
C. 5
D. 10
E. 20
Pembahasan
x2 + y2 −2x + 4y + 1 = 0
Pusatnya adalah
P (−1/2[−2], −1/2 [4])
= (1, −2)
Jadi a = 1 dan b = − 2.
10a − 5b =....
10(1) − 5(−2) = 10 + 10 = 20
Soal No. 11
Lingkaran yang persamaannya x2 + y2 − Ax − 10y + 4 = 0 menyinggung sumbu x. Nilai A yang memenuhi adalah...
A. − 2 dan 2
B. − 4 dan 4
C. − 5 dan 5
D. − 6 dan 6
E. − 9 dan 9
Pembahasan
Cara Pertama:
Lingkarannya menyinggung sumbu x, sehingga jari-jari lingkarannya akan sama dengan nilai positif dari ordinat titik pusatnya atau
Sehingga jari-jari lingkaran x2 + y2 − Ax − 10y + 4 = 0 adalah r = 10/2 = 5.
Dari rumus jari-jari lingkaran yang telah dihilangkan tanda akarnya:
Cara kedua:
Lingkaran yang persamaannya x2 + y2 − Ax − 10y + 4 = 0 menyinggung sumbu x. Artinya saat menyinggung sumbu x nilai y = 0. Masukkan ke persamaan, y diisi nol,
Terbentuk persamaan kuadrat, syaratnya menyinggung nilai diskrimanan sama dengan nol (D = 0), ingat D = b2 − 4ac di materi persamaan kuadrat. Sehingga
Soal No. 12
Persamaan lingkaran dengan pusat P(3, 1) dan menyinggung garis 3x + 4y + 7 = 0 adalah.....
A. x2 + y2 − 6x − 2y + 6 = 0
B. x2 + y2 − 6x − 2y + 9 = 0
C. x2 + y2 − 6x − 2y − 6 = 0
D. x2 + y2 + 6x − 2y + 6 = 0
E. x2 + y2 + 6x + 2y − 6 = 0
(Persamaan Lingkaran - UAN 2006)
Pembahasan
Kuncinya adalah mengetahui berapa jari-jari lingkaran terlebih dahulu. Baik diketahui dulu rumus untuk menentukan jarak suatu titik ke suatu garis.
Dalam kasus ini jari-jari lingkarannya sama dengan jarak titik ke garis, karena garisnya menyinggung lingkaran.
Jarak titik P(3, 1) ke garis x + 4y + 7 = 0 adalah
Dengan demikian jari-jari lingkarannya r = d = 4.
Tinggal membuat persamaan lingkarannya, pusatnya di titik (3, 1) dengan jari-jari 4
Soal No. 13
Jari-jari lingkaran pada gambar di bawah ini adalah...
A √3
B. 3
C. √13
D. 3√3
E. √37
(Lingkaran - Ebtanas 1996)
Soal No. 14
Tentukan persamaan garis singgung untuk lingkaran x2 + y2 = 29 yang melalui titik (5, − 2).
Pembahasan
Titik (5, − 2) terletak pada lingkaran dan sekaligus menjadi titik singgungnya, karena 52 + (−2)2 = 25 + 4 = 29
Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = r2 jika diketahui titik singgungnya adalah:
x1x + y1y = r2
5x + (−2)y = 29
5x − 2y = 29
Soal No. 15
Tentukan persamaan garis singgung untuk lingkaran x2 + y2 = 13 yang melalui titik:
a) (3, −2)
b) (3, 2)
Pembahasan
Tipe soal masih seperti nomor 14. Titik (3, − 2) dan titik (3, 2) sama-sama berada pada lingkaran x2 + y2 = 13 sehingga persamaan garis singgungnya masing-masing adalah:
a) x1x + y1y = r2
3x − 2y = 13
b) x1x + y1y = r2
3x + 2y = 13
Tidak ada komentar:
Posting Komentar