Perkalian Sinus dan Kosinus

1. Perkalian Sinus dan Kosinus

Sebelumnya bacalah terlebih dahulu mengenai Trigonometri untuk mempelajari rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut, yaitu:

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

Sekarang, Anda akan mempelajari perkalian sinus dan kosinus. Untuk itu, pelajari uraian berikut.

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (1)

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (2)

Dengan menjumlahkan (1) dan (2), Anda akan memperoleh

cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β

Jadi, perkalian cosinus dan cosinus adalah :

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (3)

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (4)

Dengan mengurangkan (4) terhadap (3), diperoleh :

cos(α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β

Jadi, perkalian sinus dan sinus adalah :

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (5)

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (6)

Dengan menjumlahkan (5) dan (6), diperoleh :

sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β

Jadi, perkalian sinus dan cosinus adalah :

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (7)

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (8)

Dengan mengurangkan (8) terhadap (7), diperoleh

sin(α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β

Jadi, perkalian sinus dan cosinus :

Contoh Soal 1

Hitunglah:

a. cos 75° cos 15° 

b. –2 sin 15°sin 75°

Pembahasan 1

a. cos 75° cos 15° = 1/2 (cos (75 + 15)° + cos (75 – 15)°)

= 1/2 (cos 90 + cos 60)°

= 1/2 (0 + 1/2) 

= 1/4

b. –2 sin 15° sin 75° = cos (15 + 75)° – cos (15 – 7 5)°

= cos 90° – cos (–60)°

= cos 90° – cos 60°

= 0  - 1/2)  

= - 1/2

Contoh Soal 2

Buktikan 4 sin 72° cos 144° sin 216° = 1 – cos 144°.

Penyelesaian 2

4 sin 72°cos 144°sin 216° = 2 sin 72°[2 sin 216°cos 144°]

= 2 sin 72°[sin(360°) + sin72°]

= 2 sin 72°[0 + sin72°]

= 2 sin cos 2 (72°)

= 1 – cos2(72°)

= 1 – cos144°

Contoh Soal 3 : (Soal Ebtanas 2000)

Bentuk sederhana 4 sin 36° cos 72° sin 108° adalah ....

Penyelesaian 3

= 4 sin 36° cos 72°sin 108° 

= 2 sin 36° [2 sin 108° cos 72°] 

= 2 sin 36° [sin(108 + 72)° + sin (108 – 72)°] 

= 2 sin 36°[0 + sin 36°] 

= 2 sin2 36° = 1 – cos 2(36°)

= 1 – cos 72°

 

Sumber : http://perpustakaancyber.blogspot.com/2013/05/rumus-perkalian-sinus-dan-cosinus-penjumlahan-pengurangan-contoh-soal-jawaban-jumlah-selisih-trigonometri-matematika.html