lingkaran

Soal No. 1
Berikut lukisan sebuah lingkaran pada sumbu x dan sumbu y.

Tentukan:
a) koordinat titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran
c) persamaan lingkaran
Pembahasan
a) koordinat titik pusat lingkaran
dari gambar terlihat bahwa koordinat pusat lingkaran adalah (0, 0)

b) jari-jari lingkaran
Jari-jari lingkaran r = 5

c) persamaan lingkaran
lingkaran dengan pusat titik (0, 0) dengan jari-jari r akan memiliki persamaan dengan bentuk :
x² + y² = r²



sehingga
x² + y² = 5²
x² + y² = 25

Soal No. 2
Suatu lingkaran memiliki persamaan:
x² + y² = 144

Tentukan panjang diameter lingkaran tersebut!

Pembahasan
Lingkaran pusat di (0, 0) di atas memiliki jari-jari:
r = √144
= 12 cm.

Diameter lingkaran:
D = 2 r
= 24 cm.

Soal No. 3
Diberikan sebuah lingkaran seperti gambar berikut!



Tentukan:
a) koordinat titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran
c) persamaan lingkaran
Pembahasan
a) koordinat titik pusat lingkaran
pusat lingkaran terletak pada x = 5 dengan y = 6 sehingga koordinatnya adalah (5, 6)

b) jari-jari lingkaran
sesuai gambar diatas, jari-jari lingkaran adalah 5 − 2 = 3

c) persamaan lingkaran
lingkaran dengan titik pusat di (a, b) dengan jari-jari r akan memiliki persamaan berikut:
(x − a)² + (y − b)² = r²



dimana a = 5, dan b = 6
sehingga
(x − 5)² + (y − 6)² = 3²
(x − 5)² + (y − 6)² = 9

Soal No. 4
Persamaan suatu lingkaran adalah x² + y² − 8x + 4y − 5 = 0
Tentukan:
a) titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran

Pembahasan
Suatu lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0




akan memiliki titik pusat (−¹/₂A, −¹/₂ B) dan jari-jari r = √[¹/₄ A² + ¹/₄ B² −C] .

Dari persamaan lingkaran diatas nilai :
A = −8, B = 4 dan C = − 5

a) titik pusat (−¹/₂[−8], −¹/₂ [4]) = (4, −2)
b) jari-jari lingkaran r = √[¹/₄ (−8)² + ¹/₄ (4)² −(−5)] = √25 = 5
Soal No. 5
Jari-jari dan pusat lingkaran yang memiliki persamaan x² + y² + 4x − 6y − 12 = 0 adalah...
A. 5 dan (−2, 3)
B. 5 dan (2, −3)
C. 6 dan (−3, 2)
D. 6 dan (3, −2)
E. 7 dan (4, 3)

Pembahasan
x² + y² + 4x − 6y − 12 = 0

A = 4
B = −6
C = −12

Pusat:



Jari-jari:



Sehingga jari-jari dan pusatnya adalah 5 dan (−2, 3).

Soal No. 6
Lingkaran dengan persamaan 2x² + 2y² − ¹/₂ ax + 4y − 12 = 0 melalui titik (1, − 1). Diameter lingkaran tersebut adalah....
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
E. 8

Pembahasan
Masukkan titik (1, − 1) ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan nilai a terlebih dahulu:



Jadi persamaan lingkarannya sebenarnya adalah



Jari-jarinya:



Diameternya adalah 2 × 4 = 8
Soal No. 7
Diberikan persamaan lingkaran:
x² + y² −4x + 2y − 4 = 0.

Titik A memiliki koordinat (2, 1). Tentukan posisi titik tersebut, apakah di dalam lingkaran, di luar lingkaran atau pada lingkaran!

Pembahasan
Masukkan koordinat A ke persamaan lingkarannya:
Titik A (2, 1)
x = 2
y = 1

x² + y² −4x + 2y − 4
= (2)² + (1)² −4(2) + 2(1) − 4
= 4 + 1 − 8 + 2 − 4
= −5

Hasilnya lebih kecil dari 0, sehingga titik A berada di dalam lingkaran.

Aturan selengkapnya:

Hasil < 0 , titik di dalam lingkaran Hasil > 0 , titik akan berada di luar lingkaran. Hasil = 0, maka titik berada pada lingkaran.

Soal No. 8
Diberikan persamaan lingkaran:
(x − 2)² + (x + 1)² = 9

Titik B memiliki koordinat (5, − 1).
Tentukan posisi titik B apakah berada di dalam, luar atau pada lingkaran!

Pembahasan
Untuk bentuk persamaan lingkaran bentuk (x − a)² + (x − b)² = r², kedudukan titik terhadap lingkarannya sebagai berikut:

Di dalam lingkaran untuk (x − a)2 + (x − b)2 < r2 Di luar lingkaran untuk (x − a)2 + (x − b)2 > r2 Pada lingkaran untuk (x − a)2 + (x − b)2 = r2

Masukkan koordinat B ke persamaan lingkarannya, lihat hasilnya terhadap angka 9, lebih besar, lebih kecil ataukah sama.
B (5, − 1)
x = 5
y = − 1

(x − 2)² + (x + 1)²
= (5 − 2)² + (−1 + 1)²
= 9

Hasilnya sama, jadi titik B berada pada lingkaran.

Soal No. 9
Diberikan persamaan lingkaran:
(x − 2)² + (x + 1)² = 9

Titik C memiliki koordinat (3, 4).
Tentukan jarak titik C dari pusat lingkaran!

Pembahasan
Persamaan lingkarannya,
(x − a)² + (x − b)² = r²
(x − 2)² + (x + 1)² = 9

Pusat lingkaran ini adalah,
P (a, b)
= (2, − 1)

Jarak titik C (3, 4) ke pusat P (2, − 1) ditentukan dengan rumus jarak antara dua titik:



Hasilnya



Terbalik angkanya hasilnya sama juga


Soal No. 10
Diberikan persamaan lingkaran sebagai berikut:
x² + y² −2x + 4y + 1 = 0

Jika pusat lingkaran adalah P(a, b) maka nilai dari 10a − 5b =....
A. −10
B. −5
C. 5
D. 10
E. 20


Pembahasan
x² + y² −2x + 4y + 1 = 0

Pusatnya adalah
P (−¹/₂[−2], −¹/₂ [4])
= (1, −2)

Jadi a = 1 dan b = − 2.
10a − 5b =....
10(1) − 5(−2) = 10 + 10 = 20
Soal No. 11
Lingkaran yang persamaannya x² + y² − Ax − 10y + 4 = 0 menyinggung sumbu x. Nilai A yang memenuhi adalah...
A. − 2 dan 2
B. − 4 dan 4
C. − 5 dan 5
D. − 6 dan 6
E. − 9 dan 9

Pembahasan
Cara Pertama:
Lingkarannya menyinggung sumbu x, sehingga jari-jari lingkarannya akan sama dengan nilai positif dari ordinat titik pusatnya atau



Sehingga jari-jari lingkaran x² + y² − Ax − 10y + 4 = 0 adalah r = 10/2 = 5.

Dari rumus jari-jari lingkaran yang telah dihilangkan tanda akarnya:



Cara kedua:
Lingkaran yang persamaannya x² + y² − Ax − 10y + 4 = 0 menyinggung sumbu x. Artinya saat menyinggung sumbu x nilai y = 0. Masukkan ke persamaan, y diisi nol,



Terbentuk persamaan kuadrat, syaratnya menyinggung nilai diskrimanan sama dengan nol (D = 0), ingat D = b² − 4ac di materi persamaan kuadrat. Sehingga


Soal No. 12
Persamaan lingkaran dengan pusat P(3, 1) dan menyinggung garis 3x + 4y + 7 = 0 adalah.....
A. x² + y² − 6x − 2y + 6 = 0
B. x² + y² − 6x − 2y + 9 = 0
C. x² + y² − 6x − 2y − 6 = 0
D. x² + y² + 6x − 2y + 6 = 0
E. x² + y² + 6x + 2y − 6 = 0
(Persamaan Lingkaran - UAN 2006)

Pembahasan
Kuncinya adalah mengetahui berapa jari-jari lingkaran terlebih dahulu. Baik diketahui dulu rumus untuk menentukan jarak suatu titik ke suatu garis.



Dalam kasus ini jari-jari lingkarannya sama dengan jarak titik ke garis, karena garisnya menyinggung lingkaran.

Jarak titik P(3, 1) ke garis x + 4y + 7 = 0 adalah



Dengan demikian jari-jari lingkarannya r = d = 4.

Tinggal membuat persamaan lingkarannya, pusatnya di titik (3, 1) dengan jari-jari 4



Soal No. 13
Jari-jari lingkaran pada gambar di bawah ini adalah...



A √3
B. 3
C. √13
D. 3√3
E. √37
(Lingkaran - Ebtanas 1996)

Soal No. 14
Tentukan persamaan garis singgung untuk lingkaran x² + y² = 29 yang melalui titik (5, − 2).

Pembahasan
Titik (5, − 2) terletak pada lingkaran dan sekaligus menjadi titik singgungnya, karena 5² + (−2)² = 25 + 4 = 29
Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = r² jika diketahui titik singgungnya adalah:
x₁x + y₁y = r²
5x + (−2)y = 29
5x − 2y = 29
Soal No. 15
Tentukan persamaan garis singgung untuk lingkaran x² + y² = 13 yang melalui titik:
a) (3, −2)
b) (3, 2)

Pembahasan
Tipe soal masih seperti nomor 14. Titik (3, − 2) dan titik (3, 2) sama-sama berada pada lingkaran x² + y² = 13 sehingga persamaan garis singgungnya masing-masing adalah:
a) x₁x + y₁y = r²
3x − 2y = 13

b) x₁x + y₁y = r²
3x + 2y = 13
Materi persamaan garis singgung pada lingkaran selengkapnya dibahas di artikel yang berjudul Persamaan Garis Singgung Lingkaran SMA.

sumber : http://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/14-persamaan-lingkaran-kelas-11-sma